边着色图同态的泛目标

$k$-边着色图是一个有限简单图，其边由数字 $1,\ldots,k$ 标记。从一个 $k$-边着色图的顶点集到另一个的函数，若任意边的两个端点被映射为由相同颜色的边连接的两个不同顶点，则该函数为同态。给定图类 $\mathcal{F}$，若底图为 $\mathcal{F}$ 中图的任意 $k$-边着色图都 admits 到 $\mathbb{H}$ 的同态，则 $k$-边着色图 $\mathbb{H}$（其底图不必须在 $\mathcal{F}$ 中）对 $\mathcal{F}$ 是 $k$-泛的。我们刻画了存在 $k$-泛图的图类。对于此类图类，我们建立了最小泛图大小的渐近几乎紧确界。对于非空图 $G$，其密度定义为 $G$ 的所有非空子图中边数与顶点数之比的最大值。对于非空图类 $\mathcal{F}$，$D(\mathcal{F})$ 表示 $\mathcal{F}$ 的密度，即 $\mathcal{F}$ 中各图密度的上确界。主要结果如下。当 $k\geq2$ 时，图类 $\mathcal{F}$ 存在 $k$-泛图当且仅当存在一个绝对常数界定了 $\mathcal{F}$ 中任意图的无环色数。对于任意此类图类，存在常数 $c$，使得对任意 $k \geq 2$，最小 $k$-泛图的大小介于 $k^{D(\mathcal{F})}$ 与 $ck^{\lceil D(\mathcal{F})\rceil}$ 之间。Alon 和 Marshall（Journal of Algebraic Combinatorics, 8(1):5-13, 1998）首先观察到了无环着色与泛图存在性之间的联系。他们的结论之一是，对于平面图，最小 $k$-泛图的大小介于 $k^3+3$ 与 $5k^4$ 之间。我们的结果表明，存在常数 $c$ 使得对所有 $k$，该大小以 $ck^3$ 为上界。