具有固定最小度数的图的极值 H-着色

对于图 $G$ 和 $H$，从 $G$ 到 $H$ 的同态（或 $G$ 的 $H$-着色）是指从 $G$ 的顶点到 $H$ 的顶点且保持邻接关系的映射。当 $H$ 由一条边及其一个带自环的端点组成时，$G$ 的 $H$-着色对应于 $G$ 中的一个独立集。Galvin 证明，对于足够大的 $n$，完全二部图 $K_{\delta,n-\delta}$ 是具有最小度数 $\delta$ 且拥有最多独立集数量的 $n$ 顶点图。在本文中，我们开始了将此结果推广到任意 $H$ 的工作。记 $\hom(G,H)$ 为 $G$ 的 $H$-着色数量，我们证明对于固定的 $H$ 且 $\delta = 1$ 或 $\delta = 2$，$$\hom(G,H) \leq \max \{\hom(K_{\delta+1},H)^{\frac{n}{\delta+1}}, \hom(K_{\delta,\delta},H)^{\frac{n}{2\delta}}, \hom(K_{\delta,n-\delta},H)\}$$ 对于任何具有最小度数 $\delta$ 的 $n$ 顶点图 $G$ 成立（对于足够大的 $n$）。我们还提供了 $H$ 的示例，其中最大值由 $\hom(K_{\delta+1},H)^{\frac{n}{\delta+1}}$ 达到，以及其他 $H$ 的示例，其中最大值由 $\hom(K_{\delta,\delta},H)^{\frac{n}{2\delta}}$ 达到。对于 $\delta \geq 3$（且 $n$ 足够大），我们提供了一族无限的 $H$，使得对于任何具有最小度数 $\delta$ 的 $n$ 顶点图 $G$，均有 $\hom(G,H) \leq \hom(K_{\delta,n-\delta},H)$。这些结果可推广至加权 $H$-着色。