最大化图的 $H$-着色数

对于图 $G$ 和 $H$，$G$ 的一个 $H$-着色是一个映射 $\psi:V(G)\rightarrow V(H)$，使得若 $ij\in E(G)$ 则 $\psi(i)\psi(j)\in E(H)$。$G$ 的 $H$-着色数记为 $\hom(G,H)$。我们证明如下结论：对于所有图 $H$ 和 $\delta\geq3$，存在常数 $\kappa(\delta,H)$，使得若 $n\geq\kappa(\delta,H)$，则在所有具有 $n$ 个顶点和最小度 $\delta$ 的连通图中，图 $K_{\delta,n-\delta}$ 最大化 $H$-着色数。这回答了 Engbers 提出的一个问题。我们还反驳了 Engbers 关于在去掉 $G$ 的连通性假设时最大化 $H$-着色数的图 $G$ 的一个猜想。最后，设 $H$ 是一个最大度为 $k$ 的图。我们证明，若 $H$ 不包含 $k$ 个顶点上的完全带环图或 $K_{k,k}$ 作为分支，且 $\delta\geq\delta_0(H)$，则以下结论成立：对于充分大的 $n$，在所有具有 $n$ 个顶点和最小度 $\delta$ 的图中，图 $K_{\delta,n-\delta}$ 最大化 $H$-着色数。这部分回答了 Engbers 提出的另一个问题。