对图 $G$ 进行边染色使得每个 $H$ 的副本均含奇色类

近来，Alon为图$H$引入了$H$-码的概念：顶点集为$[n]$上的一组图若其中任意两个成员的对称差都不与$H$同构，则称其为$H$-码。令$D_{H}(n)$表示$H$-码的最大可能基数，$d_{H}(n)=D_{H}(n)/2^{n \choose 2}$。Alon注意到，$d_{H}(n)$的下界可通过给出对$K_n$边染色所需颜色数的上界获得，使得$H$的每个副本均含奇色类。受此启发，我们定义$g(G,H)$为对图$G$边染色使得$H$的每个副本均含奇色类所需的最少颜色数。我们证明$g(K_n,K_5) \le n^{o(1)}$且$g(K_{n,n}, C_4)= n/2+o(n)$。第一个结果表明$d_{K_5}(n) \ge \frac{1}{n^{o(1)}}$，该结果在arXiv:2306.14682中独立得到。