关于图的奇边着色与奇边覆盖

图$G$的一个奇$k$-边着色是一种（不必是正常的）边着色，使用至多$k$种颜色，使得每个非空颜色类诱导的子图中每个顶点的度数均为奇数；类似地，如果允许每条边使用多种颜色，则称为图$G$的一个奇$k$-边覆盖。本文完全解决了Petru{\v{s}}evski和{\v{S}}krekovski（《欧洲组合学杂志》，91:103225, 2021）提出的关于图的奇边着色和奇边覆盖的两个主要猜想。第一个猜想指出，除了两个分别可奇$5$-边着色和奇$6$-边着色的特例外，对于任何其他无环连通图$G$，存在一条边$e$使得$G\backslash \{e\}$是奇$3$-边可着色的。第二个猜想指出，任何简单图$G$都存在一个奇$3$-边覆盖，其中至多一条边使用超过一种颜色。此外，我们通过证明存在一个奇$3$-边覆盖，其中至多一条边使用两种颜色而其余边使用单一颜色，有力地证实了第二个猜想。