无环色指数至少为 $d+2$ 的 $d$-正则图

图的无环边着色是指一种正常边着色，使得不存在双色圈。图的无环色指数是指使得存在使用 $k$ 种颜色的无环边着色所需的最小 $k$ 值，记为 $a'(G)$。Alon、Sudakov 和 Zaks（以及更早的 Fiamcik）曾猜想 $a'(G)\le \Delta+2$，其中 $\Delta =\Delta(G)$ 表示图的最大度。Alon 等人还提出了一个问题：偶数阶完全图是否是唯一需要 $\Delta+2$ 种颜色进行无环边着色的正则图。在本文中，通过简单的计数论证，我们不仅观察到这一猜想不成立，而且事实上所有具有 $2n$ 个顶点且 $d > n$ 的 $d$-正则图，至少需要 $d+2$ 种颜色。我们还利用更非平凡的论证证明了当 $n$ 为奇数时，$a'(K_{n,n}) \ge n+2$（此处 $K_{n,n}$ 表示每侧有 $n$ 个顶点的完全二部图）。对于某些完全二部图族以及较小的 $n$ 值，可以证明该 $K_{n,n}$ 的下界是紧的。我们还推断，对于任意满足 $d \ge 5$、$n \ge 2d + 3$ 且 $dn$ 为偶数的 $d$ 和 $n$，都存在至少需要 $d+2$ 种颜色进行无环边着色的 $d$-正则图。