无弦图的无环边色指数

图的无环边染色是一种正常边染色，其中不存在双色圈。图 $G$ 的无环色指数记为 $a'(G)$，是使得 $G$ 具有使用 $k$ 种颜色的无环边染色的最小正整数 $k$。Fiamčík 曾猜想对任意最大度 $\Delta$ 的图 $G$ 有 $a'(G) \le \Delta+2$。图 $G$ 的线性森林度，记为 $la(G)$，是其边可被划分成的线性森林的最小数目。若图中没有圈包含弦，则称该图为无弦图。每个 $2$-连通无弦图都是极小 $2$-连通图。Basavaraju 和 Chandran 证明了若 $G$ 是 $2$-退化的，则 $a'(G) \le \Delta+1$。由于无弦图也是 $2$-退化的，故对任意无弦图 $G$ 有 $a'(G) \le \Delta+1$。Machado、de Figueiredo 和 Trotignon 证明了无弦图的色指数为 $\Delta$（当 $\Delta \ge 3$ 时）。他们还给出了一个多项式时间算法来最优地染色无弦图。我们改进了该结果，证明无弦图的无环色指数为 $\Delta$，除非 $\Delta=2$ 且图含有圈，此时为 $\Delta+1$。我们还给出了无弦图最优无环边染色的多项式时间算法概要。作为副产品，我们也证明了 $la(G) = \lceil \frac{\Delta }{2} \rceil$，除非 $G$ 含有圈且 $\Delta=2$，此时 $la(G) = \lceil \frac{\Delta+1}{2} \rceil = 2$。为获得无环色指数的结果，我们证明了无弦图的一个结构结果，它是对 Machado、de Figueiredo 和 Trotignon 所给该类图结构的精炼。这或许具有独立意义。