$K_8$ 的 Erd\H{o}s-Gy\'arf\'as 问题的一个变体

近期，Alon 类比理论计算机科学中纠错码的研究，开启了对图码及其线性变体的研究。Alon 将避免包含小图 $H$ 像的线性图码的最大密度与以下 $K_n$ 边着色的 Erd\H{o}s-Gy\'arf\'as 问题变体联系起来：在 $K_n$ 的边着色中，如果 $H$ 的一个副本中每种颜色占据偶数条边，则称该副本为偶着色的。我们寻求一种使用 $n^{o(1)}$ 种颜色的 $K_n$ 边着色，使得不存在 $H$ 的偶着色副本。猜想对于所有具有偶数条边的团 $K_t$ 都存在这样的边着色。迄今为止，已为 $K_4$ 和 $K_5$ 构造了满足此性质的边着色。我们构造了一种使用 $n^{o(1)}$ 种颜色且避免 $K_8$ 偶着色副本的边着色。这是上述猜想中最小的未决情形，因为 $K_6$ 和 $K_7$ 各有奇数条边。我们还研究了边着色的一种更强条件，即对于 $H$ 的每个副本，存在一种颜色在该副本中恰好占据一条边。我们猜想，无论边数的奇偶性如何，对于所有团 $K_t$ 均存在使用 $n^{o(1)}$ 种颜色且满足此更强要求的边着色。我们为 $K_4$ 和 $K_5$ 构造了满足此更强性质的边着色。这些构造还改进了避免 $K_4$ 和 $K_5$ 偶着色副本的原始问题所需的颜色数量。