受反色霍兰德理论和奇数着色问题启发的单色图分解

我们考虑受反色霍兰德/彩虹着色理论、奇数着色和冲突自由着色问题启发的极值边着色问题. 设 $G$ 为图, 且 $F$ 为给定的图族. 对每一个整数 $n \geq |G|$, 设 $f(n,G|F)$ 表示最小整数 $k$, 使得任意使用至少 $k$ 种颜色对完全图 $K_n$ 的边着色, 都能找到一个 $G$ 的副本, 使得每个颜色类诱导出 $F$ 的成员. 注意到在反色霍兰德问题中, 每个颜色类仅为一条边; 即 $F=\{K_2\}$. 在我们之前的论文[arXiv:2405.19812]中, 我们主要关注 $F$ 在子图包含下是继承的情形. 本文中我们考虑受奇数着色和冲突自由着色启发的着色问题. 正如我们将要看到的, 处理这些问题需要额外的工具, 与我们第一篇关于该主题的论文中使用的工具不同. 本文提出的众多结果中, 我们提及: (1) 对每一个图 $G$, 存在常数 $c=c(G)$, 使得任意对 $K_n$ 的边着色使用至少 $cn$ 种颜色, 都存在一个 $G$ 的副本, 使得每个顶点 $v$ 都与一条颜色在所有与 $v$ 相关的边中仅出现一次的边相连. (2) 与上述结果形成尖锐对比, 我们证明若 $F$ 为所有奇数图的类(即所有顶点度为奇数的图), 则 $f(n,K_k|F)=(1+o(1))$ex$(n,K_{\lceil k/2 \rceil})$, 这在 $k \geq 5$ 时为二次. (3) 我们精确确定当 $F$ 属于表示各种奇/偶着色约束的若干图族时, 对小图 $f(n,G|F)$ 的值.