Ramsey-好的图族

对于固定图的有限族 $\mathcal{F}$，设 $R_k(\mathcal{F})$ 为最小整数 $n$，使得对完全图 $K_n$ 的边进行任意 $k$-染色都会产生某个 $F\in\mathcal{F}$ 的单色副本。如果对于每个满足 $\chi(G)=R_k(\mathcal{F})$ 的图 $G$ 以及 $E(G)$ 的每个 $k$-染色，都存在某个 $F\in\mathcal{F}$ 的单色副本，则称 $\mathcal{F}$ 是 $k$-好的。容易看出，如果 $\mathcal{F}$ 不包含森林，则对任何 $k$ 它都不是 $k$-好的。可以合理地猜想（弱）逆命题成立，即对于任何包含至少一个森林的有限图族 $\mathcal{F}$，以及所有 $k\geq k_0(\mathcal{F})$（或至少对于无限多个 $k$ 值），$\mathcal{F}$ 是 $k$-好的。我们证明了几个（适度的）支持该猜想的结果，特别地，证明了它对由两个各含3条边的连通图组成的三个族中的每一个都成立，并观察到它对任何包含至多2条边的森林的族 $\mathcal{F}$ 都成立。我们还研究了一些相关问题，并反驳了 Aharoni、Charbit 和 Howard 关于正则3部3一致超图中匹配大小的一个猜想。