关于具有 m 条边的图的多色 Ramsey 数

图 $F$ 的多色 Ramsey 数 $r_k(F)$ 是最小的整数 $n$，使得在 $K_n$ 的边用 $k$ 种颜色进行的任意着色中，都存在一个 $F$ 的单色拷贝。在这篇简短笔记中，我们证明了对于具有 $m$ 条边且无孤立顶点的图 $F$，其 $r_k(F)$ 的一个上界形式为 $k^{6km^{2/3}}$，从而回答了 Sudakov [Adv. Math. 227 (2011), no. 1, 601--609] 提出的问题。此外，降低了二分图 $F$ 且为两种颜色情况下指数中的常数，使得 $r_2(F)\le 2^{(1+o(1))2\sqrt{2m}}$，改进了 Alon, Krivelevich 和 Sudakov [Combin. Probab. Comput. 12 (2003), no. 5--6, 477--494] 的结果。