单色无限子图的密度

对于任意可数无限图 $G$，拉姆齐定理保证了在可数无限完全图 $K_\mathbb{N}$ 的边的任意 $r$-染色中，存在一个 $G$ 的无限单色副本。更进一步，我们自然会想知道，就某种测度而言——例如 $G$ 的顶点集在正整数中的密度（或上密度）——我们能找到多大的 $G$ 的单色副本。与有限拉姆齐理论中该问题已被广泛研究不同，无限图的类似问题大多被忽视。在该领域为数不多的结果中，Erdős 和 Galvin 证明了在 $K_\mathbb{N}$ 的每种 2-染色中，存在一个单色路，其顶点集的上密度至少为 $2/3$，但不可能优于 $8/9$。他们还证明，对于某个序列 $\epsilon_n\to 0$，存在一条单色路 $P$，使得对无穷多个 $n$，集合 $\{1,2,...,n\}$ 包含 $P$ 的前 $(\frac{1}{3+\sqrt{3}}-\epsilon_n)n$ 个顶点，但不可能优于 $2n/3$。我们改进了这两个结果，在前一种情况下达到了至少 $3/4$ 的上密度，在后一种情况下得到了 $2/3$ 的紧界。我们还考虑了有向路、树（连通子图）的相关问题，以及一个更一般的结果，例如包含局部有限图。