单色无限子图的密度 II

1967 年，Gerencsér 与 Gyárfás 证明了一个被视为图 Ramsey 理论起点的结果：在 $K_n$ 的每种 2-染色中，都存在一条含 $\lceil(2n+1)/3\rceil$ 个顶点的单色路径，且这是最优的。此后出现了数百篇关于图 Ramsey 理论的论文，其中一些最重要的结果受 Burr 与 Erdős 关于树、最大度有界图以及退化度有界图的 Ramsey 数的一系列猜想所推动。1993 年，Erdős 与 Galvin \cite{EG} 开始研究 Gerencsér 与 Gyárfás 结果的无限可数类比：在 $K_\mathbb{N}$ 的每种 2-染色中，最大的 $d$ 是多少，使得存在上密度至少为 $d$ 的单色无限路径。Erdős 与 Galvin 证明了 $2/3\leq d\leq 8/9$，经过一系列近期改进，最终证明 $d={(12+\sqrt{8})}/{17}$。本文开启了对定量可数无限图 Ramsey 理论的系统研究，聚焦于 Burr-Erdős 猜想的无限类比。我们获得了一些与有限情形已知结果类似的结果，以及其他（出乎意料的）在有限情形中无类比的结果。