边染色无穷完全图与二部图中同色路的上密度

顶点集 $V(G) \subseteq \mathbb{N}$ 的无穷图 $G$ 的上密度定义为 $\overline{d}(G) = \limsup_{n \rightarrow \infty}{|V(G) \cap \{1,\ldots,n\}|}/{n}$。设 $K_{\mathbb{N}}$ 为以 $\mathbb{N}$ 为顶点集的无穷完全图。Corsten、DeBiasio、Lamaison 和 Lang 证明了在 $K_{\mathbb{N}}$ 的任意 $2$-边染色中，存在上密度至少为 $(12 + \sqrt{8})/17$ 的同色路，且该界是最佳的。在本文中，我们将此结果推广至 $K_{\mathbb{N}}$ 的 $k$-边染色，其中 $k \ge 3$。我们猜想任意 $k$-边染色的 $K_{\mathbb{N}}$ 包含上密度至少为 $1/(k-1)$ 的同色路，且该界是最佳的（当 $k-1$ 为素数幂时）。我们证明了当 $k = 3$ 时该猜想成立，并在 $k =4$ 时渐近成立。此外，我们证明该问题可由其二部图变体推导得出，该变体本身亦具有独立的研究价值。