受反拉姆齐染色启发的单色图分解

我们考虑受反拉姆齐/彩虹染色理论启发的染色问题，并将其推广到更广泛的程度。设$\mathcal{F}$是一个遗传图族；即，如果$H\in \mathcal{F}$且$H'\subset H$，则也有$H'\subset \mathcal{F}$。对于图$G$和任意整数$n \geq |G|$，令$f(n,G|\mathcal{F})$表示最小的颜色数$k$，使得$K_n$的任何具有至少$k$种颜色的边染色都强制出现一个$G$的副本，其中每个颜色类诱导出$\mathcal{F}$的一个成员。$\mathcal{F} = \{K_2\}$的情形是1973年由Erdős、Simonovits和Sós引入的著名的反拉姆齐/彩虹染色问题。利用$G$的$\mathcal{F}$-牌组$D(G|\mathcal{F}) = \{ H : H = G - D, \, D \in \mathcal{F}\}$，我们定义$\chi_\mathcal{F}(G) = \min \{ \chi(H) : H \in D(G|\mathcal{F}) \}$。我们证明的主要定理是：假设$\mathcal{F}$是一个遗传图族，且$G$不是$\mathcal{F}$的成员。(1) 如果$\chi_\mathcal{F}(G) \geq 3$，则$f(n, G |\mathcal{F}) = (1+o(1)) \, ex(n, K_{\chi_\mathcal{F}(G)})$。(2) 否则$f(n, G |\mathcal{F}) = o(n^2)$。该定理涵盖的族包括：匹配、无环图、平面图和外平面图、$d$-退化图、色数至多为$k$的图、有界最大度图等等。我们提供了许多具体例子来展示主要定理的广泛应用范围；下一个结果是这些例子的代表。对于$p \geq 5$和$\mathcal{F} = \{ tK_2 : t \geq 1 \}$，我们有$f(n,K_p |\mathcal{F}) = (1+o(1)) \, ex(n, K_{\lceil p/2 \rceil})$；这意味着一个正确染色的$K_p$副本。换句话说，一定数量的颜色强制产生几乎两倍于彩虹完全子图的正确边染色完全子图。