无大单色分支的图着色
组合数学
2007-05-23 v1
摘要
对于图 G 与整数 t,令 mcc_t(G) 为最小的正整数 m,使得存在用 t 种颜色对 G 的顶点着色,且不存在顶点数超过 m 的单色连通子图。设 F 为任意非平凡的闭 minor 图族。我们证明对任意 n 个顶点的图 G \in F,有 \mcc_2(G) = O(n^{2/3})。该界渐近最优,且由平面图达到。更一般地,对每一这样的 F 与每一固定的 t,我们证明 mcc_t(G)=O(n^{2/(t+1)})。另一方面,我们有例子表明存在无 K_{t+3} minor 的图 G 满足 mcc_t(G)=\Omega(n^{2/(2t-1)})。考虑有界度图也很有趣。Haxell、Szabo 与 Tardos 证明了对于最大度数为 5 的任意图 G 有 \mcc_2(G) \leq 20000。我们证明存在 n 个顶点的 7-正则图 G 满足 \mcc_2(G)=\Omega(n),更精确地,对任意 \epsilon>0,存在 c_\epsilon>0 以及最大度数为 7、所有子图平均度数不超过 6+\epsilon 的 n 顶点图,且 \mcc_2(G)\ge c_\eps n。对于 6-正则图,仅知 \mcc_2 的最大数量级介于 \sqrt n 与 n 之间。我们还提供了量 \mcc_t(G) 的 Ramsey 理论视角。
引用
@article{arxiv.math/0703362,
title = {Graph coloring with no large monochromatic components},
author = {N. Linial and J. Matousek and O. Sheffet and G. Tardos},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0703362},
year = {2007}
}
备注
13 pages, 2 figures