具有受限双色子图的图着色：I. 无环、星与树宽着色

我们证明，对任意固定整数 $m \geq 1$，最大度数为 $\Delta$ 的图存在一种使用 $O(\Delta^{(m+1)/m})$ 种颜色的着色，其中每个连通双色子图至多含 $m$ 条边。该结果统一了此前已知的某些图着色类型所需颜色数的上界，包括星着色（仅需 $O(\Delta^{3/2})$ 种颜色）与无环着色（仅需 $O(\Delta^{4/3})$ 种颜色）。我们的证明使用了 Alon、McDiarmid 与 Reed 的概率方法。该结果还给出了先前未知的上界，包括：最大度数为 $\Delta$ 的图存在一种真着色，使用 $O(\Delta^{9/8})$ 种颜色且每个双色子图为平面图；以及一种真着色，使用 $O(\Delta^{13/12})$ 种颜色且每个双色子图的树宽至多为 $3$。