大度数稀疏图平方的列表着色

我们考虑有界最大平均度图的平方着色问题，即对顶点进行着色，确保相邻或具有公共邻点的两个顶点获得不同颜色。Borodin 等人于 2004 年和 2008 年证明，围长至少为七且最大度 $\Delta$ 足够大的平面图，其平方是列表 $(\Delta+1)$-可着色的；而某些围长为六且最大度任意大的平面图，其平方则不是。根据欧拉公式，围长至少为 $6$ 的平面图的最大平均度小于 $3$，围长至少为 $7$ 的平面图的最大平均度小于 $14/5<3$。我们加强了他们的结果，证明存在一个函数 $f$，使得任何最大平均度 $m<3$ 且最大度 $\Delta\geq f(m)$ 的图，其平方都是列表 $(\Delta+1)$-可着色的。该界限 $3$ 是最优的，因为上述围长为 $6$ 的平面图最大平均度小于 $3$ 且最大度任意大，但其平方无法进行 $(\Delta+1)$-着色。列表单射 $\Delta$-着色也具有相同结论。