边删除下的反拉姆森数

根据 Erd\H{o}s 等人于 1975 年的研究，图 $G$ 的反拉姆森数记作 $AR(n, G)$，定义为在完备图 $K_n$ 的边着色中使用的最大颜色数，而不形成 $G$ 的彩虹副本。在本文中，我们研究边删除下的反拉姆森数，证明两种可能的结果：减少或不变。对于三个非负整数 $k$、$t$ 和 $n$，设 $G = kP_4 \cup tP_2$。设 $E'$ 是图 $G$ 边集的子集，使得这些边的每个端点在 $G$ 中度为 2。我们证明，如果发生以下情况 (i) $t \geq k + 1 \geq 2$ 且 $n \geq 8k + 2t - 4$；(ii) $k, t \geq 1$ 且 $n = 4k + 2t$；(iii) $k = 1$，$t \geq 1$，且 $n \geq 2t + 4$ 时，则当从 $G$ 中删除 $E'$ 中的边后，反拉姆森数的行为保持一致，即 $AR(n, G) = AR(n, G - E')$。然而，当 $k \geq 2$，$t = 0$，且 $n=4k$ 时，情况并非如此。因此，我们计算 $AR(kP_4 \cup tP_2)$ 的值，情况包括：(i) $t \geq k + 1 \geq 2$ 且 $n \geq 8k + 2t - 4$；(ii) $k, t \geq 1$ 且 $n = 4k + 2t$；(iii) $k = 1$，$t \geq 0$，且 $n \geq 2t + 4$；(iv) $k \geq 1$，$t = 0$，且 $n = 4k$。