3-顶点路与匹配的生成线性森林的反 Ramsey 数

在边着色图中，若一个子图的所有边颜色各不相同，则称之为彩虹子图。对于图 $G$ 和整数 $n$，反 Ramsey 数 $AR(n,G)$ 是 $K_n$ 的不包含 $G$ 的彩虹拷贝的边着色中颜色数的最大值。我们研究 $AR(n, kP_3 \cup tP_2)$，其中 $kP_3 \cup tP_2$ 是由 $k$ 条不相交的 3-顶点路和大小为 $t$ 的匹配构成的线性森林。最近，Jie 和 Jin [Discrete Appl. Math. 386 (2026) 30-57] 确定了 $k\geq 2$、$t\geq\frac{k^2-3k+4}{2}$ 且 $n=2t+3k$ 时的该数值。本文我们在无额外限制的条件下，对所有 $k\ge1$、$t\ge2$ 解决了 $n=3k+2t$ 的生成情形。