路与圈的平面反拉姆齐数

受 Erd\H{o}s、Simonovits 和 S\'os 于 1975 年引入的反拉姆齐数启发，我们研究当宿主图为平面三角剖分时的反拉姆齐问题。给定正整数 $n$ 和平面图 $H$，令 $\mathcal{T}_n(H)$ 为所有具有 $n$ 个顶点的平面三角剖分 $T$ 的族，使得 $T$ 包含同构于 $H$ 的子图。$H$ 的平面反拉姆齐数，记为 $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$，是在平面三角剖分 $T\in \mathcal{T}_n(H)$ 的边染色中使得 $T$ 不包含 $H$ 的彩虹拷贝的最大颜色数。类似于反拉姆齐数和 Tur\'an 数，平面反拉姆齐数与平面 Tur\'an 数密切相关，其中 $H$ 的平面 Tur\'an 数是不含 $H$ 作为子图的 $n$ 个顶点平面图的最大边数。$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$ 的研究（以彩虹数之名）由 Hor\v{n}\'ak、Jendrol$'$、Schiermeyer 和 Sot\'ak [J Graph Theory 78 (2015) 248--257] 开创。本文中我们研究路与圈的平面反拉姆齐数。我们首先建立了当 $n\ge k\ge8$ 时 $ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$ 的下界。然后我们改进了当 $k\geq 5$ 且 $n\geq k^2-k$ 时 $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$ 的现有下界。最后，利用上述论文中的主要思想，我们分别得到了当 $n\ge8$ 时 $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_6)$ 以及当 $n\geq 13$ 时 $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_7)$ 的上界。