循环的彩虹平面 Turán 数

循环图 $H$ 的彩虹 Turán 数，记为 ${\text{ex}}^*(n,H)$，是指在 $n$ 顶点的图中，允许存在proper edge coloring且不存在彩虹 $H$ 时的最大边数。我们在平面情形下研究此问题。循环图 $H$ 的彩虹平面 Turán 数，记为 ${\text{ex}_{\mathcal{P}}}^*(n,H)$，是指在 $n$ 顶点的平面图中，存在proper edge coloring且不存在彩虹 $H$ 时的最大边数。我们考察循环的彩虹平面 Turán 数。由于 $C_3$ 完全是完整图，${\text{ex}_{\mathcal{P}}}^*(n, C_3)$ 正好等于其平面 Turán 数，即 $n\ge 3$ 时为 $2n-4$。我们证明 ${\text{ex}_{\mathcal{P}}}^*(n, C_4)=3n-6$ 当 $n=k^2-3k+2$ 且 $k\ge 5$ 时，以及 ${\text{ex}_{\mathcal{P}}}^*(n,C_k)=3n-6$ 对所有 $k\ge 5$ 且 $n\ge 3$ 成立。