$P_5$ 的彩虹图兰数

若边染色图 $F$ 的每条边都具有唯一颜色，则称其为彩虹图。图 $F$ 的彩虹图兰数 $ex^*(n,F)$ 是指一个无彩虹 $F$ 副本的恰当边染色 $n$ 顶点图中可能的最大边数。彩虹图兰数的研究由 Keevash、Mubayi、Sudakov 和 Verstra"ete 于 2007 年提出。本文我们关注 $ex^*(n,P_5)$。尽管近期若干论文研究了 $\ell$ 边路径 $P_{\ell}$ 的彩虹图兰数，但精确结果仅对 $\ell < 5$ 获得，而 $P_5$ 是彩虹图兰理论中遗留的最小未解情形之一。在本文中，我们证明 $ex^*(n,P_5) \leq \frac{5n}{2}$。结合 Johnston 和 Rombach 给出的下界构造，该结果表明当 $n$ 被 $16$ 整除时 $ex^*(n,P_5) = \frac{5n}{2}$，从而对所有 $n$ 渐近地解决了该问题。此外，该结果加强了如下猜想：对所有 $\ell \geq 3$，$ex^*(n,P_{\ell}) = \frac{\ell}{2}n + O(1)$。