树的连通Turán数

作为被广泛研究的Turán数$ex(n,F)$(即不含$F$的$n$个顶点的图所能包含的最大边数)的一种变体,我们引入连通Turán数$ex_c(n,F)$,即不含$F$的连通$n$顶点图所能包含的最大边数。我们关注禁用图为树的情形。Erdős和Sós的著名猜想指出,对任意树$T$,有$ex(n,T)\le(|T|-2)\frac{n}{2}$。我们研究的问题是$ex_c(n,T)$可以比该值小多少,以及当$|T|$增长时$ex_c(n,T)$与$(|T|-2)\frac{n}{2}$的最小可能比值是多少。我们还确定了小树(特别是所有至多六个顶点的树)的$ex_c(n,T)$精确值。我们基于最长路径、匹配数、分支数等图参数,引入了连通$T$-自由图的一般构造。