一类紧密线性森林的 Turán 问题

设 $\mathcal{F}$ 为一个 $r$-图族。Turán 数 $ex_r(n;\mathcal{F})$ 定义为阶为 $n$ 且不含 $\mathcal{F}$ 的 $r$-图的最大边数。著名的 Erdős 匹配猜想表明 $$ex_r(n,M_{k+1}^{(r)})= \max\left\{\binom{rk+r-1}{r},\binom{n}{r}-\binom{n-k}{r}\right\},$$ 其中 $M_{k+1}^{(r)}$ 表示由 $k+1$ 条不相交边组成的 $r$-图。受该猜想启发，我们考虑紧密线性森林的 Turán 问题。紧密线性森林是一个 $r$-图，其连通分支均为紧密路径或孤立顶点。令 $\mathcal{L}_{n,k}^{(r)}$ 为 $r$-图中所有具有 $k$ 条边且阶为 $n$ 的紧密线性森林的族。本文证明了对充分大的 $n$， $$ex_r(n;\mathcal{L}_{n,k}^{(r)})=\max\left\{\binom{k}{r}, \binom{n}{r}-\binom{n-\left\lfloor (k-1)/r\right \rfloor}{r}\right\}+d,$$ 其中 $d=o(n^r)$ 且若 $r=3$ 且 $k=cn$ 其中 $0<c<1$，若 $r\geq 4$ 且 $k=cn$ 其中 $0<c<1/2$。证明基于超图的弱正则引理。我们还猜想对于满足 $k \equiv 1\ (mod\ r)$ 的任意 $k$，上述结果中的误差项 $d$ 等于 0。我们证明所提猜想直接蕴含 Erdős 匹配猜想。