树的二分图 Turán 数

我们系统性地探讨了关于二分图 Turán 数的研究。对于图 $F$ 和整数 $1 \leq a \leq b$，我们定义：（i）$ex_b(a, b, F)$ 是具有部分大小 $a$ 和 $b$ 的 $F$-free 二分图可拥有的最大边数。我们记 $ex_b(n, F)$ 作为 $ex_b(n, n, F)$。（ii）$ex_{b,c}(a, b, F)$ 是具有部分大小 $a$ 和 $b$ 的 $F$-free 连通二分图可拥有的最大边数。我们记 $ex_{b,c}(n, F)$ 作为 $ex{b,c}(n, n, F)$。这两个定义对于图族 $\mathcal{F}$ 类似。我们证明了关于 $F$ 的最大度以及 $F$ 两个顶点类的基数所依赖的一般下界。我们以 $ex(2n, F)$ 和 $ex(n, F)$——相应的经典（非二分图）Turán 数为条件，推导出 $ex_b(n, F)$ 的上界和下界。我们解答了包括所有最多六个顶点的树、如果 $a \geq f(s,t )$ 的双星 $D_{s ,t}$、一些蜘蛛家族的问题。我们使用这些结果为 L. T. Yuan 和 X. D. Zhang [{\it Graphs and Combinatorics}, 2017] 关于 $ex_b( n, \mathcal{T}_{k,\ell} )$ 的问题提供了答案，其中 $\mathcal{T}_{k,\ell}$ 是具有各自基数 $k$ 和 $\ell$ 的树的家族。还研究了 Turán 类型函数之间的渐进最坏情况比率。