线性森林的二部图图兰数与谱极值

图 $H$ 的二部图图兰数记为 $ex(m,n; H)$，是指任意二部图 $G=(X,Y; E)$（其中 $|X|=m$ 且 $|Y|=n$）中不包含 $H$ 作为子图的最大边数。本文中，对于任意 $\ell$ 以及相对于 $m$ 和 $\ell$ 适当大的 $n$，我们确定了 $ex(m,n; F_{\ell})$，其中 $F_\ell$ 是由 $\ell$ 个顶点不交路径组成的线性森林。此外，我们还刻画了极值图。进一步，利用这些结果得到了不包含 $F_{\ell}$ 作为子图的二部图的最大谱半径，并刻画了所有达到最大谱半径的极值图。