生成线性森林的广义 Turán 数

设 $\mathcal{F}$ 为图族。若对任意 $F\in \mathcal{F}$，$G$ 均不含同构于 $F$ 的子图，则称图 $G$ 为 \textit{$\mathcal{F}$-自由}的。给定图 $T$ 与图族 $\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$ 的广义 Turán 数为 $n$ 个顶点的 $\mathcal{F}$-自由图中 $T$ 的副本的最大数目，记为 $ex(n,T,\mathcal{F})$。线性森林是其连通分支均为路或孤立点的图。令 $\mathcal{L}_{n,k}$ 为所有具有 $k$ 条边且阶为 $n$ 的线性森林的族，$K^*_{s,t}$ 为将 $K_{s,t}$ 中大小为 $s$ 的部分替换为同等大小的团所得的图。本文中，我们确定了 $ex(n,K_s,\mathcal{L}_{n,k})$ 与 $ex(n,K^*_{s,t},\mathcal{L}_{n,k})$ 的精确值。此外，我们研究了“ host graph（宿主图）”为二部图时该问题的情形。记 $ex_{bip}(n,T,\mathcal{F})$ 为两部分大小均为 $n$ 的 $\mathcal{F}$-自由二部图中 $T$ 的副本的最大可能数目。我们确定了 $ex_{bip}(n,K_{s,t},\mathcal{L}_{n,k})$ 的精确值。我们的证明主要基于平移法。