移位方法与匹配的广义图兰数

给定两个图$T$和$F$，在$n$个顶点上无$F$的图中$T$的副本的最大数量称为广义图兰数，记为$ex(n,T,F)$。当$T=K_2$时，它退化为经典图兰数$ex(n,F)$。令$M_{k}$为具有$k$条边的匹配，$K^{*}_{s,t}$为通过将大小为$s$的部分替换为同等大小的团而从$K_{s,t}$得到的图。在本文中，我们证明对任意$s\geq 2$和$n\geq 2k+1$，$$ex(n,K_s,M_{k+1})=\max\left\{\binom{2k+1}{s}, \binom{k}{s}+(n-k)\binom{k}{s-1}\right\}.$$ 对任意$s\geq 1$、$t\geq 2$和$n\geq 2k+1$，$$ex(n,K_{s,t}^*,M_{k+1})=\max\left\{\binom{2k+1}{s+t}\binom{s+t}{t}, \binom{k}{s}\binom{n-s}{t}+(n-k)\binom{k}{s+t-1}\binom{s+t-1}{t}\right\}.$$ 此外，我们还研究了该问题的二部情形。令$ex_{bip}(n,T,F)$为各部分大小为$n$的无$F$二部图中$T$副本的最大可能数量。我们证明对任意$s,t\geq 1$和$n\geq k$，$$ex_{bip}(n,K_{s,t},M_{k+1})=\left\{ \begin{aligned} &\binom{k}{s}\binom{n}{t}+\binom{k}{t}\binom{n}{s}, & \quad s\neq t, &\binom{k}{s}\binom{n}{s},&\quad s=t. \end{aligned} \right.$$ 我们的证明主要基于移位方法。