关于无 $K_{s,t}$ 图的一些极值结果

对于图 $H$ 和 $F$，令 $\text{ex}(n,H,F)$ 为 $n$ 个顶点上的无 $F$ 图中 $H$ 的副本的最大可能数量。对此函数的研究推广了著名的图 Turán 数，最近由 Alon 和 Shikhelman 进行了系统研究。在本文中，我们证明了对于任意 $m$ 和 $t\ge 2m-3\ge3$，$$\text{ex}(n,K_{m},K_{2,t})=\Theta(n^{\frac{3}{2}}).$$ 此结果改进了 Alon 和 Shikhelman (J. Combin. Theory Ser. B, 121:146-172, 2016) 的一些结果。我们还研究了 $k$-部无 $K_{s,t}$ 图，我们证明了对于任意 $k\ge3$ 和 $t\ge(k-1)(s-1)!+1$，$$\text{ex}_{\chi\le k}(n,K_{s,t})\ge\frac{k-1}{2k}n^{2-1/s}+o(n^{2-1/s}).$$ 此外，我们给出了一种具有许多边的 3-部无 $K_{2,2t+1}$ 图的新构造。