关于恰含k个给定子图副本的图及搜索理论中的一个相关问题

我们研究$\mathrm{exa}_k(n,F)$，即一个含$n$个顶点且恰含$k$个给定子图$F$副本的图$G$的最大边数。当$k=0$时即为Tur\'an数$\mathrm{ex}(n,F)$，它是极值图论中研究最多的参数之一。我们证明对任意$F$与$k$，$\mathrm{exa}_k(n,F)=(1+o(1))\mathrm{ex}(n,F)$，并确定了对足够大$n$时$\mathrm{exa}_k(n,K_3)$与$\mathrm{exa}_1(n,K_r)$的精确值。我们还探讨了与搜索理论中如下著名问题的联系。给定一个阶为$n$的图，它由一个未知的$F$副本和一些孤立顶点组成。我们可以查询顶点对，回答告知这些顶点间是否有边。我们的目标是用尽可能少的查询来描述该图。Aigner与Triesch于1990年证明所需查询数至少为$\binom{n}{2}-\mathrm{exa}_1(n,F)$。在其他结果中，我们证明被回答为NO的查询数至少为$\binom{n}{2}-\mathrm{exa}_1(n,F)$。