2P_7 的图兰数

图 $H$ 的图兰数记为 $ex(n,H)$，是指 $n$ 个顶点的任意不包含 $H$ 作为子图的图中边数的最大值。令 $P_{k}$ 表示含 $k$ 个顶点的路，令 $mP_{k}$ 表示 $m$ 个互不相交的 $P_{k}$ 的拷贝。Bushaw 与 Kettle [Tur\'{a}n numbers of multiple paths and equibipartite forests, Combin. Probab. Comput. 20(2011) 837--853] 对较大的 $n$ 确定了 $ex(n,kP_\ell)$ 的精确值。Yuan 与 Zhang [The Tur\'{a}n number of disjoint copies of paths, Discrete Math. 340(2)(2017) 132--139] 完全确定了所有 $n$ 下 $ex(n,kP_3)$ 的值，并确定了 $ex(n,F_m)$，其中 $F_m$ 是至多含一条奇路的 $m$ 条路的互不相交并。他们还确定了 $n\geq 2\ell+4$ 时 $ex(n,P_3\cup P_{2\ell+1})$ 的精确值。近来，Bielak 与 Kieliszek [The Tur\'{a}n number of the graph $2P_5$, Discuss. Math. Graph Theory 36(2016) 683--694]、Yuan 与 Zhang [Tur\'{a}n numbers for disjoint paths, arXiv: 1611.00981v1] 分别独立确定了 $ex(n,2P_5)$ 的精确值。本文中，我们证明对所有 $n \ge 14$ 有 $ex(n,2P_{7})=\max\{[n,14,7],5n-14\}$，其中 $[n,14,7]=(5n+91+r(r-6))/2$，$n-13\equiv r\,(\text{mod }6)$ 且 $0\leq r< 6$。