无路径平方图中三角形的最大数量

$H$ 关于 $G$ 的广义 Turán 数，记为 $\ex(n,H,G)$，是指 $n$ 个顶点的 $G$-free 图中 $H$ 的副本的最大数量。当 $H$ 为一条边时，$\ex(n,H,G)$ 即为经典的 Turán 数 $\ex(n,G)$。设 $P_k$ 为具有 $k$ 个顶点的路径。$P_k$ 的平方，记为 $P_k^2$，是通过连接 $P_k$ 中距离至多为 2 的顶点对得到的。$P_k^2$ 的 Turán 数 $\ex(n, P_k^2)$ 已由多位研究者确定。当 $k=3$ 时，$P_3^2$ 为三角形，$\ex(n, P_3^2)$ 可由 Mantel 定理得出。当 $k=4$ 时，$\ex(n, P_4^2)$ 由 Dirac 在更一般的背景下解决。当 $k=5,6$ 时，该问题由 Xiao、Katona、Xiao 和 Zamora 解决。对于一般的 $k \ge 7$，该问题由 Yuan 在更一般的背景下解决。最近，Mukherjee 确定了广义 Turán 数 $\ex(n, K_3, P_5^2)$。在本文中，我们确定了 $\ex(n, K_3, P_6^2)$ 的精确值，并刻画了 $n \ge 11$ 时的所有极图。