无悬垂长度为5路径图中K_3的广义 Turán 数

给定图 $H$ 和 $F$，广义 Turán 数 $\ex(n, H, F)$ 定义为在包含 $F$ 的 $n$ 顶图中包含 $H$ 的副本数的最大值。图 $F$ 的悬垂 $\widehat{F}$ 是通过添加一个与 $F$ 的每个顶点相邻的新顶点获得的。Mubayi 和 Mukherjee（2023，DM）猜想 $\ex(n, K_3, \widehat{P_k})=\left\lfloor \frac{k-2}{2}\right\rfloor \cdot \frac{n^2}{8}+o(n^2)$，其中 $P_k$ 是 $k\ge 4$ 顶的路径。他们使用三角移除引理验证了该猜想在 $k=4,5,6$ 时的成立性。后来，Mukherjee（2024，DM）确定了 $\ex(n, K_3, \widehat{P_4})=\left\lfloor n^2/8\right\rfloor$ 的确切值。本文使用稳定方法，确定 $\ex(n, K_3, \widehat{P_5})$ 的确切值，通过表明对于足够大的 $n$，$\ex(n,K_3, \widehat{P_5})=\left\lfloor n^2/8\right\rfloor$。