树的奇气球图的图兰数

图兰数 $ex(n,H)$ 是 $n$ 个顶点上不含 $H$ 的图中边数的最大值。设 $T$ 为任意树。 $T$ 的奇气球图，记为 $T_o$，是将 $T$ 的每条边替换为包含该边的一个奇圈而得到的图，且所有奇圈的新顶点互不相同。本文中，对充分大的 $n$ 以及良态的 $T_o$，我们确定了 $ex(n,T_o)$ 的精确值；这推广了关于 $T$ 为星图时 $ex(n,T_o)$ 的所有已知结果（分别由 Erd\H{o}s 等人（1995）、Hou 等人（2018）和 Yuan（2018）给出），并为 Keevash 与 Sudakov（2004）关于 $n$ 阶完全图的二边染色中不在任何 $H$ 的单色拷贝中的最大边数的猜想提供了一些色数为 3 的反例。