连通性如何影响树的极值边数

Erdős-Sós猜想指出,不含给定$k$个顶点树的$n$顶点图的最大边数为至多$\frac {n(k-2)}{2}$。尽管受到广泛关注,该猜想仍未解决。最近,Caro、Patkós和Tuza在宿主图连通的条件下考虑了此问题。解决了他们提出的一个问题,对于一个$k$顶点树$T$,我们构造了不含$T$的$n$顶点连通图,其边数至少为$(1/4-o_k(1))nk$,表明附加的连通性条件至多使最大规模减小为原来的1/2。此外,我们证明这是最优的:存在一族$k$顶点扫帚树$T$,使得不含$T$的$n$顶点连通图的最大规模至多为$(1/4+o_k(1))nk$。