关于任意 $k$ 个顶点间恰有一棵 Steiner 树相连的极图

Bollobás 考虑了确定具有 $n$ 个顶点且最大局部连通度至多为 $\ell$ 的图的边数最大值 $f(n;\bar{\kappa}\leq \ell)$ 的问题。Li 等人研究了具有 $n$ 个顶点且任意三个顶点间至多存在两棵内部不相交的 Steiner 树的图的边数最大值 $f(n;\bar{\kappa}_3\leq2)$。本文进一步研究了具有 $n$ 个顶点且任意 $k$ 个顶点间（$k\geq 3$）恰有一棵 Steiner 树相连的图的边数最大值 $f(n;\bar{\kappa}_k=1)$。结果表明，与经典连通度参数的相同问题不同，这并非一项易于完成的任务。我们分别确定了 $k=3,4,n$ 时 $f(n;\bar{\kappa}_k=1)$ 的精确值，并刻画了达到这些值的图。