具有广义连通度 $\kappa_3 = 2$ 的图的最小边数

设 $G$ 是一个 $n$ 阶非平凡连通图，$k$ 是满足 $2\leq k\leq n$ 的整数。对于 $G$ 中 $k$ 个顶点构成的集合 $S$，令 $\kappa (S)$ 表示 $G$ 中边不交树 $T_1,T_2,...,T_\ell$ 的最大数目 $\ell$，使得对任意不同的整数对 $i,j$（$1\leq i,j\leq \ell$）有 $V(T_i)\cap V(T_j)=S$。Chartrand 等人将连通度的概念推广如下：$G$ 的 $k$-$连通度$，记作 $\kappa_k(G)$，定义为 $\kappa_k(G)=\min\{\kappa(S)\}$，其中最小值取遍 $V(G)$ 的所有 $k$ 元子集 $S$。因此 $\kappa_2(G)=\kappa(G)$，其中 $\kappa(G)$ 是 $G$ 的连通度。本文主要关注满足 $\kappa_{3}(G)= 2$ 的图 $G$ 的最小边数。对于满足 $\kappa_{3}(G)= 2$ 的图 $G$，设其阶为 $v(G)$，边数为 $e(G)$，我们得到 $e(G)\geq 6/5v(G)$，并通过展示一类达到该下界的例子证明该下界是紧的。