图的平方的边连通性

设 $G$ 为一个连通图。图 $G$ 的边连通性，记为 $\lambda(G)$，是指使 $G$ 断开所需的最少边数。设 $\delta(G)$ 为 $G$ 的最小度。众所周知，$\lambda(G) \leq \delta(G)$，而等号成立的图称为最大边连通图。$G^2$ 是与 $G$ 具有相同顶点集的图，其中两个顶点之间若其距离不超过 $2$ 则相邻。本文关于图的平方的边连通性提出了结果。我们证明，如果秩为 $n$ 的连通图 $G$ 的最小度至少为 $\lfloor \frac{n+2}{4} \rfloor$，则 $G^2$ 为最大边连通图，且该结果最为理想。我们也给出 $G^2$ 非最大边连通情形下 $\lambda(G^2)$ 的下界：我们证明 $\lambda(G^2) \geq \kappa(G)^2 + \kappa(G)$，其中 $\kappa(G)$ 表示图 $G$ 的连通性，即指使 $G$ 断开所需的最少顶点数，且该下界尖锐。我们进一步证明 $\lambda(G^2) \geq \frac{1}{2}\lambda(G)^{3/2} - \frac{1}{2} \lambda(G)$，并构造了一个无限图族来说明 $\lambda(G)$ 在该下界中的指数 $3/2$ 最为理想。