直接积图的 3-受限边连通性

若边子集 $S \subseteq E(G)$ 满足 $G - S$ 连通且每个连通分支至少包含三个顶点，则称 $S$ 为 3-受限边割。图 $G$ 的 3-受限边连通性记为 $\lambda_3(G)$，若存在至少一个 3-受限边割，则 $\lambda_3(G)$ 为其所有 3-受限边割基数中的最小值；否则 $\lambda_3(G) = +\infty$。我们证明 $\lambda_3(G) \leq \xi_3(G)$ 若 $G$ 存在 3-受限边割，其中 $\xi_3(G) = \min \left\{ |[X, V(G) \setminus X]_G| : |X| = 3 \text{ 且 } G[X] \text{ 为连通} \right\}$。若 $\lambda_3(G) = \xi_3(G)$，则称 $G$ 为最大 3-受限边连通图。两个图 $G$ 和 $H$ 的直接积记为 $G \times H$，其顶点集为 $V(G \times H) = V(G) \times V(H)$，若 $(u_1, v_1)$ 与 $(u_2, v_2)$ 两顶点满足 $u_1u_2 \in E(G)$ 且 $v_1v_2 \in E(H)$，则两者在 $G \times H$ 中相邻。本文确定了正则连通图 $G$ 的 $G \times C_n$、$G \times K_n$ 与 $G \times T_n$ 的 3-受限边连通性，其中 $C_n$、$K_n$、$T_n$ 分别为 $n$ 顶的循环图、完全图与总图。作为推论，我们给出直接积图 $G \times C_n$、$G \times K_n$ 与 $G \times T_n$ 为最大 3-受限边连通的充要条件。