强积图的 3-受限边连通性

若一个边子集 $S \subseteq E(G)$ 满足 $G-S$ 连通且每个连通分支至少包含三个顶点，则称其为 3-受限边割。图 $G$ 的 3-受限边连通性记为 $\lambda_3(G)$，若存在至少一个 3-受限边割，则 $\lambda_3(G)$ 为所有 3-受限边割基数的最小值；否则 $\lambda_3(G) = +\infty$。证明若 $G$ 存在 3-受限边割，则 $\lambda_3(G) \leq \xi_3(G)$，其中 $\xi_3(G) = \min \{ |[X, V(G) \setminus X]_G||X \subseteq V(G),|X| = 3 \text{ 且 } G[X] \text{ 为连通}\}$。若 $\lambda_3(G) = \xi_3(G)$，则称 $G$ 为最大 3-受限边连通图。图的强积记为 $G \boxtimes H$，其顶点集为 $V(G)\times V(H)$，边集为 $\{(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})|x_{1}=x_{2}\text{ 且 }y_{1}y_{2}\in E(H);\text{ 或 }y_{1}=y_{2} \text{ 且 } x_{1}x_{2}\in E(G);\text{ 或 } x_{1}x_{2}\in E(G) \text{ 且 } y_{1}y_{2}\in E(H)\}$。本文证明 $G \boxtimes C_{n}$ 为最大 3-受限边连通图，并确定 $G \boxtimes K_{n}$ 的 3-受限边连通性，其中 $G$ 为最大边连通图，$C_{n}$ 和 $K_{n}$ 分别为阶为 $n$ 的循环图和完全图。