对偶立方体的两类广义连通性

设 $S\subseteq V(G)$，且 $\kappa_{G}(S)$ 表示 $G$ 中边不相交树 $T_{1}, T_{2}, \cdots, T_{k}$ 的最大数目 $k$，使得对于任意 $i, j \in \{1, 2, \cdots, k\}$ 且 $i\neq j$，有 $V(T_{i})\bigcap V(T_{j})=S$。对于满足 $2\leq r\leq n$ 的整数 $r$，图 $G$ 的 {\em 广义 $r$-连通性} 定义为 $\kappa_{r}(G)= min\{\kappa_{G}(S)|S\subseteq V(G)$ 且 $|S|=r\}$。非完全图 $G$ 的 $r$-分量连通性 $c\kappa_{r}(G)$ 是指使删除后得到至少 $r$ 个分量的图的最少顶点数。这两个参数都是传统连通性的推广。除超立方体和完全二部图外，几乎所有已知的 $\kappa_{r}(G)$ 都是关于 $r=3$ 的。本文聚焦于对偶立方体 $D_{n}$ 的 $\kappa_{4}(D_{n})$。我们首先证明对于 $n\geq 4$，$\kappa_{4}(D_{n})=n-1$。作为推论，我们得到对于 $n\geq 4$，$\kappa_{3}(D_{n})=n-1$。此外，我们证明对于 $n\geq 2$ 且 $1\leq r \leq n-1$，$c\kappa_{r+1}(D_{n})=rn-\frac{r(r+1)}{2}+1$。