图的所有定向中平均连通性的最大值

对于图 $G$ 中不同的顶点 $u$ 和 $v$，$u$ 与 $v$ 之间的{\em 连通性}，记为 $\kappa_G(u,v)$，是 $G$ 中内部不相交的 $u$--$v$ 路的最大数目。$G$ 的{\em 平均连通性}，记为 $\overline{\kappa}(G)$，是对 $G$ 的所有无序不同顶点对 $u,v$ 取 $\kappa_G(u,v)$ 的平均值。类似地，对于有向图 $D$，$u$ 到 $v$ 的{\em 连通性}，记为 $\kappa_D(u,v)$，是 $D$ 中内部不相交的有向 $u$--$v$ 路的最大数目。$D$ 的{\em 平均连通性}，记为 $\overline{\kappa}(D)$，是对 $D$ 的所有有序不同顶点对 $u,v$ 取 $\kappa_D(u,v)$ 的平均值。图 $G$ 的一个{\em 定向}是通过给 $G$ 的每条边指定一个方向得到的有向图。对图 $G$，令 $\overline{\kappa}_{\max}(G)$ 表示 $G$ 的所有定向中平均连通性的最大值。本文给出了给定阶数及给定图类上所有图 $G$ 的 $\overline{\kappa}_{\max}(G)$ 以及比值 $\overline{\kappa}_{\max}(G)/\overline{\kappa}(G)$ 的界。在可能处，我们证明了这些界的紧性。该问题此前已在树上被研究。我们聚焦于三次 3-连通图、极小 2-连通图、2-树和极大外平面图等图类。