超立方体与折叠超立方体的星结构连通度与星子结构连通度

作为顶点连通度的推广，对于连通图 $G$ 和 $T$，$G$ 的 $T$-结构连通度 $\kappa(G, T)$（相应地为 $T$-子结构连通度 $\kappa^{s}(G, T)$）是 $G$ 中一组子图 $F$ 的最小基数，其中每个子图同构于 $T$（相应地为 $T$ 的连通子图），使得 $G-F$ 不连通。对于 $n$ 维超立方体 $Q_{n}$，Lin 等人 [6] 证明了 $\kappa(Q_{n},K_{1,1})=\kappa^{s}(Q_{n},K_{1,1})=n-1$ 且对 $2\leq r\leq 3$ 和 $n\geq 3$ 有 $\kappa(Q_{n},K_{1,r})=\kappa^{s}(Q_{n},K_{1,r})=\lceil\frac{n}{2}\rceil$。Sabir 等人 [11] 得到对 $n\geq 6$ 有 $\kappa(Q_{n},K_{1,4})=\kappa^{s}(Q_{n},K_{1,4})=\lceil\frac{n}{2}\rceil$，且对 $n$ 维折叠超立方体 $FQ_{n}$，当 $2\leq r\leq 3$ 和 $n\geq 7$ 时 $\kappa(FQ_{n},K_{1,1})=\kappa^{s}(FQ_{n},K_{1,1})=n$，$\kappa(FQ_{n},K_{1,r})=\kappa^{s}(FQ_{n},K_{1,r})=\lceil\frac{n+1}{2}\rceil$。他们提出了一个确定 $Q_n$ 和 $FQ_n$ 对于一般 $r$ 的 $K_{1,r}$-结构连通度的开放问题。本文中，我们对每个整数 $r\geq 2$，得到对所有远大于 $r$ 的整数 $n$ 有 $\kappa(Q_{n};K_{1,r})=\kappa^{s}(Q_{n};K_{1,r})=\lceil\frac{n}{2}\rceil$ 且 $\kappa(FQ_{n};K_{1,r})=\kappa^{s}(FQ_{n};K_{1,r})= \lceil\frac{n+1}{2}\rceil$。对 $4\leq r\leq 6$，我们分别确认上述结果在剩余情形下对 $Q_n$ 成立。