偶环的彩虹图兰数、重复模式与环的吹胀

图 $H$ 的彩虹图兰数 $\mathrm{ex}^*(n,H)$ 是指一个无彩虹子图同构于 $H$ 的适当边染色 $n$ 顶点图中可能的最大边数。我们证明对任意整数 $k\geq 2$，有 $\mathrm{ex}^*(n,C_{2k})=O(n^{1+1/k})$。这是紧的，并确立了 Keevash、Mubayi、Sudakov 和 Verstraëte 的一个猜想。我们使用相同的方法证明了多个其他主题中的若干猜想。首先，我们证明存在常数 $c$，使得任何边数多于 $cn(\log n)^4$ 的适当边染色 $n$ 顶点图包含一条彩虹圈。已知存在边数为 $\Omega(n\log n)$ 且不含任何彩虹圈的适当边染色 $n$ 顶点图。其次，我们证明在 $K_n$ 的任意使用 $o(n^{\frac{r}{r-1}\cdot \frac{k-1}{k}})$ 种颜色的适当边染色中，存在 $r$ 个颜色同构、两两顶点不交的 $C_{2k}$ 拷贝。这以强形式证明了 Conlon 和 Tyomkyn 的一个猜想，以及 Xu、Zhang、Jing 和 Ge 提出的加强版本。此外，我们通过证明存在常数 $c=c(r)$ 使得任何边数多于 $cn^{2-1/r}(\log n)^{7/r}$ 的 $n$ 顶点图包含偶环的 $r$-吹胀，回答了 Jiang 和 Newman 的一个问题。最后，我们证明 $C_{2k}$ 的 $r$-吹胀的图兰数为 $O(n^{2-\frac{1}{r}+\frac{1}{k+r-1}+o(1)})$，这可用于反驳 Erdős 和 Simonovits 的一个旧猜想。