关于超立方体的图兰数

1964 年，Erdős 提出了估计 $d$ 维超立方体 $Q_d$ 的图兰数的问题。由于 $Q_d$ 是最大度数为 $d$ 的二部图，由 Füredi 以及 Alon、Krivelevich、Sudakov 的结果可得 $\mathrm{ex}(n,Q_d)=O_d(n^{2-1/d})$。Sudakov 与 Tomon 近期的一般性结果蕴含略强的界 $\mathrm{ex}(n,Q_d)=o(n^{2-1/d})$。我们通过对这一古老问题取得首个幂次改进，证明 $\mathrm{ex}(n,Q_d)=O_d(n^{2-\frac{1}{d-1}+\frac{1}{(d-1)2^{d-1}}})$。这回答了 Liu 的一个问题。此外，我们的技术对一类比立方体更广的图给出了幂次改进。我们用类似方法证明，任何无彩虹圈的 $n$ 顶点恰当边染色图至多有 $O(n(\log n)^2)$ 条边，改进了 Tomon 先前的最佳界 $n(\log n)^{2+o(1)}$。进而，我们证明任何具有 $\omega(n\log n)$ 条边的 $n$ 顶点恰当边染色图包含一条几乎彩虹的圈：即其中几乎所有边都具有唯一颜色。后一结果是紧的。