几何形状图的极值数

我们研究源自自然界中常见的几何形状与周期铺砌的高度对称二部图的图兰(Turán)问题。1. 棱柱图 $C_{2\ell}^{\square}:=C_{2\ell}\square K_{2}$ 是由两个顶点不交的 $2\ell$-圈以及将这两个圈的对应顶点配对的匹配所构成的图。我们证明对每个 $\ell\ge 4$,ex$(n,C_{2\ell}^{\square})=\Theta(n^{3/2})$。这解决了 He、Li 和 Feng 的一个猜想。2. 蜂窝中的六边形铺砌是现实世界中最自然的结构之一。我们证明蜂窝图的极值数与其基本构成单元 6-圈具有相同的数量级。3. 我们还考虑了来自圆柱与环面四角剖分的二部图。我们对两种构型均证明了近乎最优的界。特别地,我们的方法给出了二维网格极值数紧上界的一个极简短证明,改进了 Bradač、Janzer、Sudakov 和 Tomon 近期的结果。我们的证明融合了多种思想,包括平移嵌入方案、加权同态与子图计数以及非对称依赖随机选择。