Theta 图的二分型 Turán 数的若干尖锐下界

我们扩展了 Conlon 的随机代数构造方法，证明对于任意奇数 $k \geq 3$，存在自然数 $c_k$（与 Conlon 的相同），使得 $\operatorname{ex}(n^a,n,\theta_{k,c_k}) = \Omega_{k,a}((n^{1 + a})^{\frac{k + 1}{2k}})$，其中 $a \in [\frac{k - 1}{k + 1}, 1)$。给定图 $H$，我们记 $\operatorname{ex}(n,m,H)$ 为 $H$-free 二分图在两部分基数为 $n$ 和 $m$ 时的最大边数。我们记 $\theta_{k,l}$ 为两个顶点通过 $l$ 条长度为 $k$ 的不相交路径相连的图。