广义 theta 图的图兰数

令 $\Theta_{k_1,\cdots,k_\ell}$ 表示广义 theta 图，其由连接两个固定顶点的 $\ell$ 条内部不相交、长度分别为 $k_1,\cdots, k_{\ell}$ 的路径组成。我们估计相应的极值数 $\text{ex}(n,\Theta_{k_1,\cdots,k_\ell})$。当所有路径长度具有相同奇偶性且至多一条路径长度为 1 时，$\text{ex}(n,\Theta_{k_1,\cdots,k_\ell})$ 为 $O(n^{1+1/k^\ast})$，其中 $2k^\ast$ 是 $\Theta_{k_1,\cdots,k_\ell}$ 中最小圈的长度。我们还建立了 $\text{ex}(n,\Theta_{3,5,5})$ 这一特例下的匹配下界。