关于限制圈长的图中圈的数量

设$L$为一组正整数。若图$G$中所有圈的长度均属于$L$，则称（有向）图$G$为$L$\emph{-圈图}。令$c(L,n)$为$n$个顶点的$L$-圈图中可能存在的最大圈数（我们用$\vec{c}(L,n)$表示有向图中的圈数）。在无向情形下，我们证明对于任意固定集合$L$，有$c(L,n)=\Theta_L(n^{\lfloor k/\ell \rfloor})$，其中$k$是$L$的最大元素，$2\ell$是$L$的最小偶数元素（若$L$仅包含奇数元素，则$c(L,n)=\Theta_L(n)$成立）。我们还给出了当$L$为单元素时$L$-圈图的特征刻画。在有向情形下，我们证明对于任意固定集合$L$，有$\vec{c}(L,n)=(1+o(1))(\frac{n-1}{k-1})^{k-1}$，其中$k$是$L$的最大元素。我们确定了每个$k$对应的$\vec{c}(\{k\},n)$的精确值，并刻画了所有达到该最大值的图。